Розділ 1 «Цілі вирази»
Алгебраїчні вирази
Алгебраїчними виразами називають числові вирази та вирази зі змінними.
Вирази зі змінними
Вирази зі змінними — це записи, що складають із букв (змінних) і чисел за допомогою знаків арифметичних дій та дужок.
Властивості степенів
Властивості степенів:
[latex] a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} [/latex]
[latex] a^{m}: a^{n}=a^{m-n} [/latex], де [latex] m\gt n [/latex]
[latex] \left( a^{m} \right)^{n}=a^{mn} [/latex]
[latex] \left( ab \right)^{n}=a^{n}\cdot b^{n} [/latex]
[latex] \left( \frac{a}{b} \right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}} [/latex], де [latex] b\neq 0 [/latex]
Коефіцієнт одночлена
Коефіцієнтом одночлена називається числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді.
Многочлен
Многочленом називають суму кількох одночленів.
Доданки, із яких складається многочлен, називають членами многочлена. Одночлен вважають окремим випадком многочлена.
Многочлен стандартного вигляду
Многочлен стандартного вигляду — многочлен, усі члени якого є одночленами стандартного вигляду, серед яких немає подібних членів.
Одночлен
Одночленами називають цілі вирази — числа, змінні, степені та їхні добутки.
Одночлен стандартного вигляду
Одночлен стандартного вигляду містить у своєму записі:
1) один відмінний від нуля числовий множник, записаний на першому місці;
2) інші множники — степені з різними основами.
Подібні члени многочлена
Подібні члени многочлена — це подібні доданки многочлена.
Правило множення многочленів
Правило множення многочленів
Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого многочлена і додати знайдені добутки.
Правило множення одночлена на многочлен
Правило множення одночлена на многочлен
Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен на кожний член многочлена й додати знайдені добутки.
Правило рівності добутку нулю
Правило рівності добутку нулю
Добуток декількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю:
[latex]a \cdot b = 0[/latex], якщо [latex]a = 0[/latex] або [latex]b = 0[/latex].
Раціональні вирази
Раціональні вирази — це алгебраїчні вирази, які містять лише дії додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня й ділення.
Розкладання многочлена на множники
Розкладання многочлена на множники — це тотожне перетворення многочлена в добуток кількох множників. Кожний множник може бути як одночленом, так і многочленом.
Способи розкладання многочленів на множники
Способи розкладання многочленів на множники:
• винесення спільного множника за дужки;
• групування;
• із використанням формул скороченого множення.
Степінь многочлена стандартного вигляду
Степінь многочлена стандартного вигляду — найбільший зі степенів одночленів, із яких він складається.
Степінь одночлена
Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, які містить одночлен.
Якщо одночлен є числом, відмінним від нуля, його степінь вважають рівним 0.
Степінь числа
Степенем числа a з натуральним показником n, більшим за 1, називають добуток n множників, кожний із яких дорівнює a:
[latex] a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text { множникiв}}[/latex], [latex] n\in \textbf{N} [/latex], [latex] n\gt 1 [/latex]
Степенем числа a з показником, що дорівнює 1, називають саме число а:
[latex]a^{1}=a[/latex]
Тотожне перетворення виразу
Тотожним перетворенням виразу називають заміну виразу на тотожний йому вираз.
Тотожні вирази
Тотожними, або тотожно рівними, називають вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, що входять до них.
Тотожність
Тотожність — це рівність, правильна при будь-яких значеннях змінних, що входять до неї.
Формула квадрата суми / різниці
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий вираз плюс квадрат другого виразу:
[latex] \left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} [/latex]
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий вираз плюс квадрат другого виразу:
[latex] \left( a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} [/latex]
Формула різниці квадратів
Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на їх суму:
[latex] a^{2}-b^{2}=\left( a-b \right)\left( a+b \right) [/latex]
Формула суми / різниці кубів
Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їх різниці:
[latex] a^{3}+b^{3}=\left( a+b \right)\left( a^{2}-ab+b^{2} \right) [/latex]
Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їх суми:
[latex] a^{3}-b^{3}=\left( a-b \right)\left( a^{2}+ab+b^{2} \right) [/latex]
Цілий раціональний вираз
Цілий раціональний вираз — це вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною.
Числові вирази
Числові вирази — це записи, що утворюють із чисел за допомогою знаків арифметичних дій та дужок.