§ 21. Моделі та моделювання
Для дослідження або споглядання об’єктів Всесвіту часто люди вдаються до моделювання.
21.1. Моделі та їх типи
Як відомо, модель (від латин. modulus — міра, зразок) — це спрощене подання об’єкта, процесу або явища у вигляді таблиці, схеми тощо. Заміну об’єкта його моделлю називають моделюванням.
За способом подання моделі розподіляються на матеріальні (натурні, фізичні) й інформаційні (абстрактні).
Приклад 1
Уявімо, що ви зліпили з пластиліну будиночок, а потім його намалювали. Можна сказати, що спочатку ви створили матеріальну модель будинку (випадок а), а потім інформаційну (випадок б).
Ці моделі зберігають лише деякі властивості будинку.
Створюючи модель, людина відтворює потрібні їй властивості об’єкта й нехтує іншими властивостями.
Інформаційна модель — це опис властивостей об’єкта, процесу або явища, суттєвих для певного дослідження.
Розрізняють графічні, спеціальні, алгоритмічні, словесні, математичні, структурні типи інформаційних моделей.
Реалізація моделей дає змогу дослідити явища, які в реальних умовах відтворити не можна. Це може бути рух материків, дія землетрусів, народження нової зорі тощо.
Завдання 1
21.2. Спрощення в моделюванні
На уроках природознавства ви дізналися, що всі тіла притягуються одне до одного з силою всесвітнього тяжіння. Завдяки їй планети Сонячної системи утримуються на орбітах, а всі тіла на планетах мають певну вагу.
Сила тяжіння на планеті Земля дозволяє нам визначати масу тіл звичайними вагами, замість обчислення ваги за густиною речовини та об’ємом фізичного тіла: m = ρV. Визначаючи масу тіл на вагах, ми використовуємо спрощену модель «Земля-ваги-тіло».
Деякі причини, що спонукають заміняти об’єкти, процеси чи явища їх моделями, проілюстровано на форзаці 2 підручника.
Завдання 2
21.3. Математичне моделювання
Математичне моделювання застосовують, коли властивості об’єкта чи явища можна описати формулами.
Приклад 2
Масу однорідного фізичного тіла можна розрахувати, використовуючи її математичну модель: m = ρV, де m — маса тіла [кг]; ρ — густина речовини [кг/м3], із якої виготовлено тіло; V — об’єм тіла [м3]. Тепер можна знайти один із параметрів, якщо відомо: [latex]V=\frac{m}{\rho}[/latex] і [latex]\rho=\frac{m}{V}[/latex].
21.4. Комп’ютерне моделювання
У сучасному світі для побудови й дослідження математичних моделей зазвичай використовують комп’ютери.
Комп’ютерна модель — це інформаційна модель, реалізована за допомогою певного програмного середовища.
Для дослідження складних об’єктів і явищ часто застосовують комп’ютерний експеримент.
Комп’ютерний експеримент — це експеримент над математичною моделлю об’єкта з використанням комп’ютера.
За певними параметрами математичної моделі комп’ютер обчислює решту параметрів, на основі яких доходять висновків щодо властивостей об’єкта чи явища.
Установлені факти та висновки підтверджують (спростовують) гіпотезу, що висувається перед проведенням експерименту. Гіпотеза — це наукове припущення, що висувається для пояснення певного явища, властивості тощо.
Завдання 3
21.5. Проведення комп’ютерного експерименту
Комп’ютерний експеримент передбачає кілька етапів:
1. Формулювання мети
2. Висунення гіпотези
3. Установлення математичної моделі
4. Планування експерименту
5. Проведення експерименту
6. Опрацювання та аналіз результатів
7. Перевірка правильності гіпотези
8. Закінчення експерименту
Розгляньмо етапи проведення комп’ютерного експерименту на основі даних про властивості фізичних тіл.
1. Формулювання мети.
Дослідити густину речовини металевих однорідних тіл різної форми.
2. Висунення гіпотези.
Усі тіла зроблені з однієї речовини.
3. Установлення математичної моделі:
[latex]\rho=\frac{m}{V}[/latex].
4. Планування експерименту:
а) визначити експериментально маси й об’єми фізичних тіл і ввести дані в електронну таблицю;
б) розрахувати засобами Excel густину речовини тіл.
5. Проведення експерименту:
а) із курсу природознавства ви знаєте, що масу тіл можна визначити на терезах (випадок а), а об’єми — зануренням тіл у рідину в мензурці (випадок б);
б) уведемо отримані дані в ЕТ. Налаштуємо в діапазоні D2:D7 числовий тип даних із двома десятковими знаками;
в) за співвідношенням математичної моделі створимо формулу розрахунку густини речовини першого тіла — тризуба.
Скопіюймо формулу для решти тіл, отримаймо результати обчислень.
6. Опрацювання й аналіз результатів.
Усі результати обчислень виявилися однаковими.
7. Перевірка правильності гіпотези.
Гіпотеза підтвердилася. Усі тіла зроблено з однакової речовини.
8. Закінчення експерименту.
Зберігаємо файл документа Excel на комп’ютері.
Примітка. У цьому комп’ютерному експерименті допущено певні спрощення. Одне із них те, що тіла вважаються зробленими з одного металу, а не зі сплавів. Інакше можлива ситуація, коли густини сплавів різних металів можуть збігатися.
Завдання 4
Питання для самоперевірки
1. Перевірити гіпотезу, пов’язану з легендою про шахи, засобами табличного процесора шляхом комп’ютерного експерименту.
а) Сформулюйте й запишіть у зошит гіпотезу, яку потрібно перевірити.
б) Створіть і запишіть у зошит математичну модель розрахунку винагороди.
в) Складіть план комп’ютерного експерименту.
г) Запустіть Excel і створіть Нову книгу.
Проведіть комп’ютерний експеримент із розрахунками.
Зауваження. Зважайте на те, що великі числа можуть бути представлені в Excel в експоненційній формі.
Наприклад, число 1 000 000 000 буде подано як 1Е+09.
Припущення. Для спрощення розрахунків вважайте масу одного рисового зернятка такою, що дорівнює 0,1 г.
Інформація. Шахи містять 64 клітинки.
2. Знайдіть в інтернеті відомості про обсяг світового виробництва рису.
а) Запишіть знайдені дані в зошит і в одну з клітинок електронної таблиці (у грамах).
б) Опрацюйте результати обчислень, порівняйте зі світовим виробництвом рису.
в) Зробіть висновок щодо підтвердження чи спростування гіпотези.
3. Збережіть документ із назвою Вправа 21.
Завершіть роботу з табличним процесором.