Уроки 12–13.
Узагальнюємо знання про рівняння і нерівності.
Досліджуємо рівняння і нерівності зі змінною

Не гай часу!

Тобі вже знайомі поняття рівняння, нерівність зі змінною; ти вмиєш їх розв’язувати кількома способами. Сьогодні на уроку ти пригадаєш і порівняєш способи розв’язування рівнянь та нерівностей зі змінною, а також перевіриш, чи допоможе спосіб розв’язування рівняння відшукати розв’язки нерівності зі змінною.

Розминка

Вправа 1

Усно розбий записи на дві групи. Назви кожну групу.

27 + x = 51
27 + x < 51
40 ∙ p > 160

Рівняння — це рівність, яка містить змінну.

Розв’язок (корінь) рівняння — це числове значення змінної, за якого рівняння перетворюються на істинну числову рівність.

Розв’язати рівняння — це означає знайти його розв’язок (корінь).

Розв’язати нерівність зі змінною означає знайти всі значення змінної, за яких нерівність зі змінною перетворюється на істинну числову нерівність. При цьому числове значення змінної називають розв’язком нерівності.

Вправа-дослідження

Із чисел 1, 2, 4, 6, 12, 18 учні вибирали число, яке є розв’язком рівняння, і число, яке є розв’язком нерівності зі змінною. Прокоментуй, як учні розв’язали рівняння та нерівність зі змінною способом добору.

36 : x = 18
Якщо x = 1:
36 : 1 = 18 — хибно.
Якщо x = 2:
36 : 2 = 18 — істинно.
Відповідь: 2.

a – 8 > 4
Слід почати випробовування із числа, яке більше за 8, тому що ми не вміємо від меншого числа віднімати більше.
1) Якщо a = 12: 12 – 8 > 4 — хибно.
2) Якщо a = 18: 18 – 8 > 4 — істинно.
Відповідь: 18.

Розв’язуючи рівняння та нерівності способом добору, треба підставити замість змінної її числове значення. Якщо отримаємо істинну числову рівність або нерівність, то дане число є розв’язком рівняння або нерівності.

Вправа 2

Вправа-дослідження

Перевір розв’язання. Який спосіб розв’язування застосовано?

36 : x = 18
x = 36 : 18
x = 2
----------------
36 : 2 = 18
      18 = 18
Відповідь: 2.

Розв’язування простих рівнянь на основі застосування правила знаходження невідомих компонентів арифметичних дій

  1. Читаю рівняння з назвами компонентів арифметичної дії.
  2. Визначаю, який компонент невідомий.
  3. Згадую, як знайти невідомий компонент.
  4. Виконую відповідну арифметичну дію.
  5. Виконую перевірку: підставляю знайдене значення замість змінної та визначаю, чи буде при цьому рівність істинною.
  6. Роблю висновок про розв’язок (корінь) рівняння.
  7. Записую відповідь.

Вправа 3

Вправа-дослідження

Перевір розв’язання. Який спосіб розв’язування застосовано?
     a – 8 > 4
1) a – 8 = 4
     a = 4 + 8
     a = 12
2) ... , 11, 12 , 13, → ... ;
3) 11 – 8 > 4 — хибно;
Відповідь: 13, 14, 15, ... .

Розв’язування нерівностей зі змінною 
способом зведення до рівняння 
(раціональний спосіб добору)

  1. Перетворюю нерівність на рівняння, розв’язую його.
  2. Записую отримане число — розв’язок рівняння та його «сусідів».
  3. Підставляю в нерівність число, попереднє / наступне до визначеного. Якщо одержую істинну нерівність, то розв’язками є числа, розташовані до / після визначеного числа. Якщо одержую хибну нерівність, то розв’язками є числа, розташовані після / до отриманого числа.

Вправа 4

Розв’яжи нерівність способом зведення до рівняння. Познач, хибною чи істинною є нерівність, одержана на кроку 3 (запиши «хибно» або «істинно»). Числа у відповіді записуй у порядку зростання.

Зразок:
     11 – а > 6
1) 11 – а = 6
     а = 11 – 6
     а = 5
2) … 4, 5, 6 …
3) 11 – 4 > 6 — істинно,
тому 4 — розв’язок.
Відповідь: 0, 1, 2, 3, 4.

Вправа-дослідження

Прокоментуй, як розв’язано рівняння на основі властивостей рівностей.
36 : x = 18
36 : x = 36 : 2
x = 2
Відповідь: 2.

Розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівностей

  1. Читаю вираз, поданий у лівій частині рівняння. Визначаю відомий компонент.
  2. Замінюю число у правій частині рівняння таким самим виразом, із тим самим відомим компонентом.
  3. Зіставляю математичні вирази, записані у правій і лівій частинах рівняння. Якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент, стоїть знак рівності, то й інший компонент у них також однаковий.
  4. Записую відповідь.

Вправа 5

Вправа 6

Вправа-дослідження

Учні розв’язали нерівності, використавши залежність результату арифметичної дії від зміни одного з її компонентів. Прокоментуй записи.

a – 8 > 4
a – 8 > 12 – 8
a > 12
Із двох різниць з однаковими від’ємниками більша та, у якій зменшуване більше.
Відповідь: 13, 14, 15, ... .

200 – x > 42
200 – x > 200 – 158
x < 158
Із двох різниць з однаковими зменшуваними більша та, у якій від’ємник менший.
Відповідь: 0, 1, 2, 3, 4, ..., 157.

Добір розв’язків нерівності логічним способом 
(з використанням залежності результату арифметичної дії 
від зміни одного з її компонентів)

Читаємо ліву частину нерівності; праву частину. Подаємо праву частину нерівності у вигляді такого самого виразу з тим сам компонентом. Міркуємо. Виписуємо кілька розв’язків нерівності зі змінною.

Вправа 7

Вправа-дослідження

Алгоритм розв’язування задач алгебраїчним методом

  1. Позначаю шукане буквою.
  2. Виражаю одне з проміжних невідомих задачі виразом двома способами: числовим виразом і виразом зі змінною.
  3. Прирівнюю ці вирази, одержую рівняння.
  4. Розв’язую рівняння.

Перевір себе