Уроки 9–10. Досліджуємо ділення з остачею. Досліджуємо задачі
Не гай часу!
Ти вже знаєш чотири арифметичні дії: додавання, віднімання, множення і ділення. Чи завжди множна виконати дію додавання натуральних чисел? А дію віднімання? Чи завжди в множині натуральних чисел можна виконати дію множення? А дію ділення націло? Якщо неможливо виконати ділення націло, то виконують ділення з остачею. Сьогодні на уроку ти повториш те, що тобі відомо про ділення з остачею, пригадаєш, як його виконувати.
Розминка
Дай усні відповіді на запитання.
1. Якою арифметичною дією знаходять невідомий доданок, якщо відомі значення суми й інший доданок?
2. Якою арифметичною дією знаходять від’ємник, якщо відомі значення різниці й зменшуване?
3. Якою арифметичною дією знаходять другий множник, якщо відомі значення добутку й перший множник?
4. Якою арифметичною дією знаходять ділене, якщо відомі значення частки й дільник?
5. Якою арифметичною дією знаходять невідомий дільник, якщо відомі значення частки й ділене?
6. Як зміниться значення суми, якщо один із доданків збільшити а інший залишити без зміни?
7. Як зміниться значення різниці, якщо від’ємник зменшити, а зменшуване залишити без зміни?
8. Як зміниться значення добутку, якщо один із множників збільшити, а інший залишити без зміни?
9. Як зміниться значення частки, якщо ділене збільшити, а дільник залишити без зміни?
Вправа 1
Різниця двох натуральних чисел a і b існує тоді, коли a більше за b або дорівнює b.
Частка двох натуральних чисел a і b існує тоді, коли є таке число c, для якого виконується рівність c ∙ b = a.
Якщо ділення націло виконати не можна, то виконують ділення з остачею.
Остача має бути меншою, ніж дільник!
а : b = с (ост. r), тоді с ∙ b + r = a; r < b
Ділення націло є окремим випадком ділення з остачею, коли в остачі одержують нуль. Отже, ділення з остачею не є новою дією!
Вправа 2
Прокоментуй розв’язання. Виконай ділення з остачею за зразком.
53 : 8 = 6 (ост. 5)
1) 8, 16, 24, 32, 40, 48;
2) 48 : 8 = 6 — це неповна частка;
3) 53 – 48 = 5 — це остача.
Перевірка: 6 ∙ 8 + 5 = 53.
Коментар.
1) Виписую всі числа, які менші від діленого і діляться на дільник націло.
2) Найбільше із цих чисел ділю на дільник, одержую неповну частку.
3) Віднімаю від діленого знайдене найбільше число й одержую остачу; перевіряю, чи остача менша, ніж дільник; оформлюю запис.
Щоб перевірити правильність одержаного результату ділення з остачею, достатньо неповну частку помножити на дільник і до одержаного результату додати остачу: якщо одержимо ділене, то ділення з остачею виконано правильно.
Якщо ділене менше від дільника, то в неповній частці одержимо нуль, а ділене переходить в остачу.
а : b = 0 (ост. a), якщо a < b
Окремий випадок — ділення числа 0 на будь-яке число, відмінне від 0.
0 : а = 0, де а ≠ 0
Остачу 0 можна не писати, оскільки ділення націло є окремим видом ділення з остачею.
Вправа 3
Вправа 4
Кількість остач, включно з нулем, дорівнює дільнику.
Розглянь, які числа є парними; непарними.
У разі ділення на 2 в остачі можна одержати 0, якщо ділене ділиться на 2 націло: a = c ∙ 2 + 0; a = c ∙ 2, a — парне число.
У разі ділення на 2 в остачі можна одержати 1, якщо ділене не ділиться на 2 націло: a = c ∙ 2 + 1, a — непарне число.
Запиши в зошиті формулу чисел, які діляться націло на 3; формули чисел, які не діляться націло на 3.
При діленні націло в остачі одержимо 0. Тоді деяке число ділиться на 3 націло: а = с · 3 + 0; а = с · 3. а = 3 · с — це формула числа, що ділиться націло на 3.
При діленні на 3 в остачі можна одержати 1 або 2. Тоді одержимо формулу числа, яке не ділиться на 3 націло: а = с · 3 + 1 або а = с · 3 + 2.
Вправа 5
Вправа 6
Вправа 7
Вправа 8
Перевір себе
Згадай, як виконувати ділення з остачею, і розв’яжи задачу. Перевір себе, натиснувши на картку.
Мотузку завдовжки 13 м треба розрізати на дві частини так, щоб перша частина була на 5 м довша, ніж друга. Скільки метрів мотузки має бути в кожній частині?
Згадаємо формулу ділення з остачею.
а : b = с (ост. r), тоді с ∙ b + r = a.
Згідно з умовою задачі, a = 13, b = 2, r = 5, тобто 13 : 2 = c (ост. 5).
Довжина першої частини мотузки дорівнюватиме c м, другої частини — (c + 5) м.
Знайдемо c з рівняння с ∙ 2 + 5 = 13.
с ∙ 2 + 5 = 13,
с ∙ 2 = 13 – 5,
с ∙ 2 = 8,
с = 8 : 2,
с = 4.
c + 5 = 4 + 5 = 9.
Відповідь: 4 м мотузки в меншій частині, 9 м мотузки в більшій частині.