Урок 2.
Узагальнюємо знання про арифметичні дії із числами
Не гай часу!
Попередній урок був присвячений повторенню нумерації чисел першої тисячі — було розглянуто розрядний склад чисел, позиційний принцип запису чисел, способи утворення та порівняння чисел, прийоми додавання і віднімання на основі нумерації чисел. Сьогоднішній урок буде присвячений повторенню прийомів обчислень, адже в попередніх класах вивчалося виконання різних арифметичних дій із числами першої тисячі. Також ми застосуємо набуті знання для відкриття раціонального способу міркування при множенні й діленні на 9, 99, 11, 101.
Розминка
Дай усні відповіді на запитання.
- Яку дію треба виконати, щоб одержати число, не менше від даного? не більше за дане?
- Якою арифметичною дією можна замінити суму однакових доданків?
- Як називають числа при додаванні? множенні? відніманні? діленні?
- Чи може значення суми дорівнювати одному з доданків? У якому випадку?
- Чи може значення добутку дорівнювати одному з множників? У якому випадку?
- Чи може значення різниці дорівнювати зменшуваному? У якому випадку?
- Чи може значення частки дорівнювати діленому? У якому випадку?
- Чи може значення різниці дорівнювати нулю. У якому випадку?
- Чи може значення частки дорівнювати нулю. У якому випадку?
- Чи може значення різниці дорівнювати зменшуваному? У якому випадку?
- Чи може значення частки дорівнювати діленому? У якому випадку?
- Як пов’язані арифметичні дії додавання і віднімання? множення і ділення?
Переставний закон додавання
a + b = b + a
Сполучний закон додавання (правило додавання суми до числа)
a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b
Правило віднімання суми від числа
a – (b + c) = (a – b) – c = (a – c) – b
Переставний закон множення
a ∙ b = b ∙ a
Сполучний закон множення
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Розподільний закон множення відносно додавання
(правило множення суми на число)
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Розподільний закон множення відносно віднімання
(правило множення різниці на число)
a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c
Вправа 1
Перевір розв’язання. Який прийом додавання застосовано для обчислень? Які закони або властивості арифметичних дій лежать в основі цього прийому?
67 + 25 = 67 + (20 + 5) = (67 + 20) + 5 = 87 + 5 = 92
67 + 25 = 67 + (3 + 22) = (67 + 3) + 22 = 70 + 22 = 92
Застосовано прийом додавання частинами. Його можна реалізувати двома способами:
1) замінюючи другий доданок сумою розрядних доданків;
2) замінюючи другий доданок сумою зручних доданків так, щоб доповнити перший доданок, число 67, до найближчого круглого числа 70.
В основу обох способів обчислення покладено сполучний закон додавання.
Прокоментуй, як знаходили значення виразу різними способами. Який прийом множення застосовано для обчислень? Які закони або властивості арифметичних дій лежать в основі цього прийому?
6 ∙ 12 = 12 ∙ 6 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 72
6 ∙ 12 = 6 ∙ (10 + 2) = 6 ∙ 10 + 6 ∙ 2 = 60 + 12 = 72
6 ∙ 12 = 6 ∙ (6 ∙ 2) = (6 ∙ 6) ∙ 2 = 36 ∙ 2 = 72
У першому випадку використано переставний закон множення, а потім арифметична дія множення замінена дією додавання.
У другому випадку використано розподільний закон множення відносно додавання.
У третьому випадку застосовано прийом послідовного множення. Теоретичною основою цього прийому є сполучний закон множення.
Вправа 2
Правило ділення числа на добуток
a : (b ∙ c) = (a : b) : c
Розподільний закон ділення відносно додавання
(правило ділення суми на число)
(a + b) : c = a : c + b : c, якщо a і b діляться на c націло, c ≠ 0
Вправа 3
Поясни, як міркували учні під час знаходження значення частки чисел 48 і 16.
Максим використав спосіб добору: 48 розділити на 16 — це означає знайти таке число, яке в результаті множення на 16 дає 48. Використаємо прикидку: шукаємо числа, які в результаті множення на одиниці дільника, тобто на 6, дають число, що закінчується одиницями діленого, тобто 8. Це числа 3 і 8.
Випробуємо число 3:
3 ∙ 16 = 48, 48 = 48.
Отже, число 3 — значення частки (48 : 16 = 3, тому що 3 ∙ 16 = 48).
Наталка використала прийом послідовного ділення:
48 : 16 = 48 : (8 ∙ 2) = (48 : 8) : 2 = 6 : 2 = 3.
Дмитрик також застосував прийом послідовного ділення, але міркував інакше:
48 : 16 = 48 : (4 ∙ 4) = (48 : 4) : 4 = ((40 + 8) : 4) : 4 = (10 + 2) : 4 = 12 : 4 = 3.
Узагальнення прийомів множення і ділення
- Щоб помножити або поділити двоцифрове число на одноцифрове, достатньо двоцифрове число замінити сумою розрядних або зручних доданків, помножити або поділити кожний доданок, а потім одержані результати додати.
- Щоб помножити або поділити число на двоцифрове, необхідно двоцифровий множник або дільник замінити добутком зручних множників і помножити або поділити спочатку на один множник, а потім одержаний результат — на другий множник.
- Щоб розділити число на такий дільник, який не можна подати у вигляді добутку, можна застосувати спосіб, що ґрунтується на суті арифметичної дії ділення, — прикидки пробної цифри значення частки.
Вправа 4
Способи перевірки правильності виконання арифметичних дій
- Щоб перевірити правильність виконання арифметичної дії додавання, треба від значення суми відняти один із доданків. Якщо одержимо інший доданок, то дію додавання виконано правильно.
- Щоб перевірити правильність виконання арифметичної дії віднімання, треба до значення різниці додати від’ємник. Якщо одержимо зменшуване, то дію віднімання виконано правильно.
- Щоб перевірити правильність виконання арифметичної дії множення, треба значення добутку розділити на один із множників. Якщо одержимо інший множник, то дію множення виконано правильно.
- Щоб перевірити правильність виконання арифметичної дії ділення, треба значення частки помножити на дільник. Якщо одержимо ділене, то дію ділення виконано правильно.
Вправа 5
Множення на числа 11, 101, 9, 99
- Щоб помножити число на 11 (101), достатньо його помножити на 10 (100) і до одержаного результату додати це число.
a ∙ 11 = a ∙ 10 + a
a ∙ 101 = a ∙ 100 + a
- Щоб помножити число на 9 (99), достатньо його помножити на 10 (100) і від одержаного результату відняти це число.
a ∙ 9 = a ∙ 10 – a
a ∙ 99 = a ∙ 100 – a
Вправа 6
Вправа 7
Вправа 8
Перевір себе
Дай усні відповіді на запитання.
- Що спільне в арифметичних дій додавання і множення? віднімання і ділення?
- Які правила є основою прийому множення та ділення на двоцифрове число? на одноцифрове число?
- Як слід міркувати при множенні на підставі суті арифметичної дії множення? при множенні на одноцифрове число? при діленні на одноцифрове число? при діленні на двоцифрове число?