Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння
Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
Якщо [latex]x_1[/latex] і [latex]x_2[/latex] — корені квадратного рівняння [latex]x^2+{\color{CornflowerBlue}p}x+{\color{Red}q}=0[/latex], то [latex]\begin{cases}x_1+x_2=-{\color{CornflowerBlue}p}, \\ x_1\cdot x_2={\color{Red}q}.\end{cases}[/latex]
Доведення
Розв’яжемо рівняння [latex]x^2+px+q=0[/latex], де старший коефіцієнт [latex]a=1[/latex], другий коефіцієнт [latex]b={\color{CornflowerBlue}p}[/latex], вільний член [latex]c={\color{Red}q}[/latex]. Знайдемо дискримінант: [latex]D=b^2-4ac={\color{CornflowerBlue}p}^2-4{\color{Red}q}[/latex]. Розглянемо випадок, коли [latex]D\gt0[/latex], тобто рівняння має два різні дійсні корені. Тоді [latex]x_1=\frac{-{\color{CornflowerBlue}p}+\sqrt{D}}{2}[/latex], [latex]x_2=\frac{-{\color{CornflowerBlue}p}-\sqrt{D}}{2}[/latex].
Сума коренів: [latex]x_1+x_2=\frac{-{\color{CornflowerBlue}p}+\sqrt{D}}{2}+\frac{-{\color{CornflowerBlue}p}-\sqrt{D}}{2}=\frac{-{\color{CornflowerBlue}p}+\sqrt{D}-{\color{CornflowerBlue}p}+\sqrt{D}}{2}=\frac{-2{\color{CornflowerBlue}p}}{2}=-{\color{CornflowerBlue}p}[/latex].
Добуток коренів: [latex]x_1\cdot x_2=\frac{\left(-{\color{CornflowerBlue}p}+\sqrt{D}\right)}{2}\cdot\frac{\left(-{\color{CornflowerBlue}p}-\sqrt{D}\right)}{2}=~[/latex][latex]\frac{-\left(p-\sqrt{D}\right)}{2}\cdot\frac{-\left({\color{CornflowerBlue}p}+\sqrt{D}\right)}{2}=~[/latex][latex]\frac{\left({\color{CornflowerBlue}p}-\sqrt{D}\right)\left({\color{CornflowerBlue}p}+\sqrt{D}\right)}{4}=~[/latex][latex]\frac{ {\color{CornflowerBlue}p}^2-D}{4}=~[/latex][latex]\frac{ {\color{CornflowerBlue}p}^2-\left({\color{CornflowerBlue}p}^2-4{\color{Red}q}\right)}{4}=~[/latex][latex]\frac{ {\color{CornflowerBlue}p}^2-{\color{CornflowerBlue}p}^2+4{\color{Red}q}}{4}=~[/latex][latex]\frac{4q}{4}={\color{Red}q}[/latex].
ПРИГАДАЙТЕ!
[latex](-a+b)\cdot(-a-b)=~[/latex][latex](-a+b)\cdot(-(a+b))=~[/latex][latex](-a+b)\cdot(-1)\cdot(a+b)=~[/latex][latex](a-b)(a+b)=~[/latex][latex]a^2-b^2[/latex].
Отже, для зведеного квадратного рівняння [latex]x^2+{\color{CornflowerBlue}p}x+{\color{Red}q}=0[/latex]: [latex]x_1+x_2=-{\color{CornflowerBlue}p}[/latex], [latex]x_1\cdot x_2={\color{Red}q}[/latex].
Теорему доведено.
Теорема, обернена до теореми Вієта
Якщо числа [latex]m[/latex] і [latex]n[/latex] такі, що [latex]\begin{cases}m+n=-{\color{CornflowerBlue}p}, \\ m\cdot n={\color{Red}q},\end{cases}[/latex] то вони є коренями квадратного рівняння [latex]x^2+{\color{CornflowerBlue}p}x+{\color{Red}q}=0[/latex].
Доведення
За формулюванням теореми числа [latex]m[/latex] і [latex]n[/latex] такі, що виконуються дві умови одночасно:
[latex]m+n=-{\color{CornflowerBlue}p}[/latex],
[latex]m\cdot n={\color{Red}q}[/latex].
Отже, рівняння [latex]x^2+{\color{CornflowerBlue}p}x+{\color{Red}q}=0[/latex] можна записати у вигляді:
[latex]x^2{\color{CornflowerBlue}-}({\color{CornflowerBlue}m+n})x+{\color{Red}mn}=0[/latex].
Щоб довести, що числа [latex]m[/latex] і [latex]n[/latex] є коренями рівняння [latex]x^2{\color{CornflowerBlue}-}({\color{CornflowerBlue}m+n})x+{\color{Red}mn}=0[/latex], достатньо підставити їх у рівняння та переконатися, що одержана рівність буде правильною.
1) Підставимо в рівняння замість [latex]x[/latex] число [latex]m[/latex]:
[latex]m^2-(m+n)m+mn=0[/latex]
[latex]m^2-m^2-mn+mn=0[/latex]
[latex]0=0[/latex] — рівність правильна.
Отже, число [latex]m[/latex] є коренем рівняння [latex]x^2{\color{CornflowerBlue}-}({\color{CornflowerBlue}m+n})x+{\color{Red}mn}=0[/latex].
2) Підставимо в рівняння замість [latex]x[/latex] число [latex]n[/latex]:
[latex]n^2-(m+n)n+mn=0[/latex]
[latex]n^2-mn-n^2+mn=0[/latex]
[latex]0=0[/latex] — рівність правильна.
Отже, число [latex]n[/latex] є коренем рівняння [latex]x^2+{\color{CornflowerBlue}p}x+{\color{Red}q}=0[/latex].
Теорему доведено.