Теоретичний марафон

Квадратний корінь із добутку невід’ємних чисел (множників) дорівнює добутку коренів із цих чисел.

Щоб довести, що [latex]\sqrt{\color{Red}a\color{Default}\cdot\color{CornflowerBlue}b}=\sqrt{\color{Red}a}\cdot\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}[/latex], якщо [latex]a\ge0[/latex], [latex]b\ge0[/latex], слід довести:
1) [latex]\sqrt{\color{Red}a}\cdot\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\ge0[/latex];
2) [latex]\left(\sqrt{\color{Red}a}\cdot\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\right)^2={\color{Red}a}\cdot {\color{CornflowerBlue}b}[/latex].

Доведення
1) За властивостями арифметичного квадратного кореня:
[latex]\sqrt{\color{Red}a}\ge0[/latex] і [latex]\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\ge0[/latex], отже, [latex]\sqrt{\color{Red}a}\cdot\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\ge0[/latex].
2) За властивістю піднесення добутку до степеня:
[latex]\left(\sqrt{\color{Red}a}\cdot\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\right)^2=\left(\sqrt{\color{Red}a}\right)^2\cdot\left(\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\right)^2={\color{Red}a}\cdot {\color{CornflowerBlue}b}[/latex].

Отже, вираз [latex]\sqrt{\color{Red}a}\cdot\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}[/latex] набуває невід’ємних значень і його квадрат дорівнює [latex]{\color{Red}a}\cdot {\color{CornflowerBlue}b}[/latex].

Квадратний корінь із дробу, чисельник якого є невід’ємним, а знаменник — додатним, дорівнює кореню із чисельника, поділеному на корінь із знаменника.

Щоб довести, що [latex]\sqrt{\frac{\color{Red}a}{\color{CornflowerBlue}b}}=\frac{\sqrt{\color{Red}a}}{\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}}[/latex], якщо [latex]a\ge0[/latex], [latex]b\gt0[/latex], слід довести:
1) [latex]\frac{\sqrt{\color{Red}a}}{\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}}\ge0[/latex];
2) [latex]\left(\frac{\sqrt{\color{Red}a}}{\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}}\right)^2=\frac{\color{Red}a}{\color{CornflowerBlue}b}[/latex].

Доведення
1) За властивостями арифметичного квадратного кореня:
[latex]\sqrt{\color{Red}a}\ge0[/latex] і [latex]\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\ge0[/latex], отже, [latex]\frac{\sqrt{\color{Red}a}}{\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}}\ge0[/latex].
2) За властивістю піднесення частки до степеня:
[latex]\left(\frac{\sqrt{\color{Red}a}}{\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}}\right)^2=\frac{\left(\sqrt{\color{Red}a}\right)^2}{\left(\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}\right)^2}=\frac{\color{Red}a}{\color{CornflowerBlue}b}[/latex].

Отже, вираз [latex]\frac{\sqrt{\color{Red}a}}{\sqrt{\color{CornflowerBlue}b}}[/latex] набуває невід’ємних значень і його квадрат дорівнює [latex]\frac{\color{Red}a}{\color{CornflowerBlue}b}[/latex].